矢量微积分视角下的微分几何，以及张量的概念是什么？张量的微分又该怎样表达？张量的梯度如何与黎曼曲率张量关联起来？一个封闭的微小四边形需要满足什么条件？黎曼曲率张量同这一封闭四边形之间存在怎样的联系？6月14日12时，《张朝阳的物理课》第二百八十五期开始播出，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳现身搜狐视频直播间，内容包括上述几个问题。这期课程首先回溯了矢量微积分视角下的微分几何，然后重点探讨了高阶张量及其梯度；继而，他以矢量平移的图解方法阐述了微小四边形的封闭条件；最后，进一步分析了矢量沿封闭四边形绕行一圈后的差异，由此引出黎曼曲率张量的定义，并运用克氏符展示了其分量形式。
（张朝阳讲解闭合路径平移后矢量的差异）
关于张量及其梯度的回顾
我们首先思考如何理解微分几何，即从矢量微积分的角度看待张量及其变化。物理学中的量可以通过张量的阶数来统一认识。标量是最基础的量，仅用一个数值就能描述，视为零阶张量。矢量是一阶张量，如位移、速度、加速度和力等物理量。在n维空间里，矢量包含n个分量；在四维空间里，矢量便有四个分量。同理，二阶张量需要两个指标标记其分量，三阶张量需要三个指标，更高阶的张量也类似如此理解。
张量的关键特征是，它代表的几何对象不依赖坐标系的选择。当坐标系改变时，张量本身保持不变，变动的只是它在特定坐标系下的分量表达。譬如同一位移矢量在不同坐标系中会有不同分量，但它表示的位移始终是同一几何对象。正由于此，张量在不同坐标系下的分量之间必须契合特定的变换规则。也就是说，张量的定义不仅在于它有多少分量，更在于这些分量在坐标变换时如何相互关联。
若在时空每一点都指定一个张量，就构成了张量场。研究张量场的变化，是微分几何中的基本议题之一。此事与高等数学里研究函数导数有相似之处，不过对象从标量函数推广到了张量场。在常规矢量分析中，位移对时间求导得速度，速度对时间求导得加速度，这些量仍为矢量即一阶张量。微分几何要处理的，正是“变化”这一概念在弯曲空间或弯曲时空中的一般化推广。
在平直空间里，我们通常能直接比较相邻两点的矢量，甚至直接将它们的分量相减，用以描述矢量场的变化。但在弯曲时空中，情况更加复杂。不同点处的坐标基矢会随位置改变，因此两个不同点上的张量不在同一可直接比较的空间里。若仅将它们的分量相减，结果通常难以看作具有良好几何含义的张量。因此，如何比较相邻两点上的张量，成为微分几何中的核心问题。传统广义相对论教材一般引入联络来解此问题。联络的作用在于，在比较相邻点上的张量时，除了考量分量本身的变化，还需补偿基矢随位置变化造成的影响。这样得到的变化量才符合坐标变换下的协变要求，并成为几何上有意义的量。协变导数正是在这种想法下形成的。
换个角度也能理解这个问题。与其一开始就在弯曲空间内部引入联络，不如先将弯曲空间看作嵌套在某高维平直空间中，然后借助高维平直空间里的矢量微积分来解析弯曲空间中的微分计算。以二维球面为例。二维球面可嵌入三维平直空间内，而三维空间拥有统一的坐标基矢。若球面上存在一个矢量场，那么球面上相邻两点各自对应一个矢量。为比较这两个矢量，我们可以先从三维空间视角观察它们，将其中一个矢量沿球面平移到另一点上，并在三维空间的统一坐标基矢下展开。这样，两个矢量便能在同一高维平直空间里进行比较。完成这种比较后，得到的差量仍然
